Calcule a derivada segunda.

y = e^(-x) - e^(-2x)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função exponencial, vamos ter então que usar a fórmula da função exponencial e derivada de polinômio, além da regra da cadeia para achar y ' :

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = e - x - e - 2 x ' = e - x   ' + - e - 2 x ' = e - x ⋅ - x ' - e - 2 x ⋅ - 2 x ' = e - x ⋅ - x 1 - 1 - e - 2 x ⋅ - 2 x 1 - 1 = e - x ⋅ - x 0 - e - 2 x ⋅ - 2 x 0 = e - x ⋅ - 1 - e - 2 x ⋅ - 2 ⋅ 1 = - e - x + 2 e - 2 x

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

y ' ' = y ' ' = - e - x + 2 e - 2 x ' = - e - x ' + 2 e - 2 x ' = - e - x ⋅ - x ' + 2 e - 2 x ⋅ - 2 x ' = - e - x ⋅ - x 1 - 1 + 2 e - 2 x ⋅ - 2 x 1 - 1 = - e - x ⋅ - x 0 + 2 e - 2 x ⋅ - 2 x 0 = - e - x ⋅ - 1 + 2 e - 2 x ⋅ - 2 ⋅ 1 = e - x - 4 e - 2 x

Resposta

y ' ' = e - x - 4 e - 2 x

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