Calcule a derivada segunda.

y = x^2 / (x^2 + x + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = x 2

e

g x = x 2 + x + 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = x 2 x 2 + x + 1 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = x 2 ' x 2 + x + 1 - x 2 x 2 + x + 1 ' x 2 + x + 1 2 = 2 x 2 - 1 x 2 + x + 1 - x 2 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 + 0 x 2 + x + 1 2 = 2 x x 2 + x + 1 - x 2 2 x + x 0 x 2 + x + 1 2 = 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x - x 2 2 x + 1 x 2 + x + 1 2 = 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2 x 3 - x 2 x 2 + x + 1 2 = x 2 + 2 x x 2 + x + 1 2

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = x 2 + 2 x

e

g x = x 2 + x + 1 2

Assim:

y ' ' = y ' ' = x 2 + 2 x x 2 + x + 1 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = x 2 + 2 x ' x 2 + x + 1 2 - x 2 + 2 x x 2 + x + 1 2 ' x 2 + x + 1 2 2 = 2 x 2 - 1 + 2 x 1 - 1 x 2 + x + 1 2 - x 2 + 2 x 2 x 2 + x + 1 2 - 1 x 2 + x + 1 ' x 2 + x + 1 4 = 2 x + 2 x 0 x 2 + x + 1 2 - 2 x 2 + 4 x x 2 + x + 1 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 + 0 x 2 + x + 1 4 = 2 x + 2 ⋅ 1 x 2 + x + 1 - 2 x 2 + 4 x 2 x + x 0 x 2 + x + 1 3 = 2 x + 2 x 2 + x + 1 - 2 x 2 + 4 x 2 x + 1 x 2 + x + 1 3 = 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x + 2 - 4 x 3 - 2 x 2 - 8 x 2 - 4 x x 2 + x + 1 3 = - 2 x 3 - 6 x 2 + 2 x 2 + x + 1 3

Resposta

y ' ' = - 2 x 3 - 6 x 2 + 2 x 2 + x + 1 3

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