Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

32.y = (x \* raiz(3 + 2x)) / (4x - 1)

Passo 1

Precisamos derivar a função com relação a x:

d y d x = d d x x 3 + 2 x 4 x - 1

Para resolvermos a derivada vamos precisar aplicar a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Nossa derivada vai ficar:

d d x x 3 + 2 x 4 x - 1 = d d x x 3 + 2 x 4 x - 1 - x 3 + 2 x d d x 4 x - 1 4 x - 1 2

Passo 2

Vamos resolver a primeira derivada que apareceu:

d d x x 3 + 2 x

Vamos precisar aplicar a Regra do Produto:

d d x f x g ( x ) = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então vamos ficar com:

d d x x 3 + 2 x = d d x ( x ) 3 + 2 x + x d d x ( 3 + 2 x )

A primeira derivada que apareceu é simples de ser resolvida:

d d x x = 1

A segunda vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia. Derivamos primeiro a função de fora:

d d t t = 1 2 t

Substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela sua derivada:

d d x 3 + 2 x = 1 2 3 + 2 x d d x 3 + 2 x

Resolvendo a última derivada:

d d x 3 + 2 x = 1 3 + 2 x

Agora podemos substituir o resultado na derivada anterior:

d d x x 3 + 2 x = 3 + 2 x + x 3 + 2 x

Passo 3

E por fim podemos substituir o resultado na Regra do Quociente do Passo 1:

d d x x 3 + 2 x 4 x - 1 = 3 + 2 x + x 3 + 2 x 4 x - 1 - x 3 + 2 x d d x 4 x - 1 4 x - 1 2

Como

d d x 4 x - 1 = 4

Podemos finalmente escrever a derivada que buscamos:

d d x x 3 + 2 x 4 x - 1 = 3 + 2 x + x 3 + 2 x 4 x - 1 - 4 x 3 + 2 x 4 x - 1 2

Reescrevendo:

d y d x = 4 x 2 - 3 x - 3 2 x + 3 4 x - 1 2

Resposta

d y d x = 4 x 2 - 3 x - 3 2 x + 3 4 x - 1 2

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