Responde Aí

Enunciado

Nos exercícios 25 a 34, ache d y d x .

31. y = x 2 + x 3 + x 4 + x 2 3

Passo 1

Precisamos apenas derivar a equação com relação a x:

d y d x = d d x x 2 + x 3 + x 4 + x 2 3

Primeiro separamos em dois termos:

d y d x = d d x x 2 + d d x x 3 + x 4 + x 2 3

A derivada da esquerda pode ser resolvida diretamente:

d d x x 2 = 2 x

Passo 2

Na derivada da direita precisaremos aplicar a Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

3 x 3 + x 4 + x 2 2 d d x x 3 + x 4 + x 2

A derivada que apareceu pode ser separada:

d d x x 3 + x 4 + x 2 = d d x x 3 + d d x x 4 + x 2

A primeira resolvemos diretamente:

d d x x 3 = 3 x 2

E a segunda precisaremos aplicar a Regra da Cadeia mais uma vez:

d d x x 4 + x 2 = 2 x 4 + x d d x x 4 + x

Derivando o final diretamente ficaremos com:

d d x x 4 + x 2 = 2 x 4 + x ( 4 x 3 + 1 )

Substituindo na derivada anterior:

d d x x 3 + x 4 + x 2 = 3 x 2 + 2 x 4 + x ( 4 x 3 + 1 )

E então substituímos na derivada que apareceu quando aplicamos a Regra da Cadeia pela primeira vez:

3 x 3 + x 4 + x 2 2 d d x x 3 + x 4 + x 2 = 3 x 3 + x 4 + x 2 2 3 x 2 + 2 x 4 + x ( 4 x 3 + 1 )

Passo 3

Agora podemos substituir os resultados lá no Passo 1:

d y d x = d d x x 2 + d d x x 3 + x 4 + x 2 3

d y d x = 2 x + 3 x 3 + x 4 + x 2 2 3 x 2 + 2 x 4 + x ( 4 x 3 + 1 )

Resposta

d y d x = 2 x + 3 x 3 + x 4 + x 2 2 3 x 2 + 2 x 4 + x ( 4 x 3 + 1 )

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