Calcule a derivada segunda.

y = sen(3x) / e^x

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio, da regra da função exponencial e da função trigonométrica, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = sen ⁡ 3 x

e

g x = e x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = sen ⁡ 3 x e x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = sen ⁡ 3 x ' e x - sen ⁡ 3 x e x ' e x 2 = cos ⁡ 3 x 3 x ' e x - sen ⁡ 3 x e x x ' e x 2 = cos ⁡ 3 x 3 x 1 - 1 - sen ⁡ 3 x x 1 - 1 e x = cos ⁡ 3 x 3 ⋅ 1 - sen ⁡ 3 x ⋅ 1 e x = 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x e x

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x

e

g x = e x

Assim:

y ' ' = y ' ' = 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x e x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ' e x - 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x e x ' e x 2 = 3 - sen ⁡ 3 x 3 x ' - cos ⁡ 3 x 3 x ' e x - 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x e x x ' e x 2 = - 3 sen ⁡ 3 x 3 x 1 - 1 - cos ⁡ 3 x 3 x 1 - 1 - 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x x 1 - 1 e x = - 3 sen ⁡ 3 x 3 x 0 - cos ⁡ 3 x 3 x 0 - 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x x 0 e x = - 3 sen ⁡ 3 x 3 ⋅ 1 - cos ⁡ 3 x 3 ⋅ 1 - 3 cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ⋅ 1 e x = - 9 sen ⁡ 3 x - 3 cos ⁡ 3 x - 3 cos ⁡ 3 x + sen ⁡ 3 x e x = - 6 cos ⁡ 3 x - 8 sen ⁡ 3 x e x

Resposta

y ' ' = - 6 cos ⁡ 3 x - 8 sen ⁡ 3 x e x

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