Enunciado

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

34) g x = c o t g 2 2 x 1 + x 2

Passo 1

Vamos aplicar primeiro a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Então nossa função vai ficar:

g ' x = d d x c o t g 2 2 x ( 1 + x 2 ) - c o t g 2 2 x d d x ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 2 ) 2

Passo 2

Agora calculamos as derivadas separadamente, a primeira:

d d x ( c o t g 2 2 x )

Nesse caso precisamos usar a Regra da Cadeia duas vezes, uma vez para a potência de fora

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

2 c o t g 2 x d d y ( c o t g 2 x )

E agora usamos a Regra de novo para essa última derivada, então fica:

d d x c o t g 2 x = - c o s e c 2 2 x d d x 2 x = - 2 c o s e c 2 2 x

Fazendo o produto:

2 c o t g 2 x   .   - 2 c o s e c 2 2 x = - 4 c o t g 2 x c o s e c 2 2 x

Passo 3

A nossa segunda derivada é:

d d x ( 1 + x 2 )

Como a derivada da constante é 0, basta calcular a derivada de x 2 :

d d x x 2 = 2 x

Passo 4

Agora basta juntar tudo na Regra do Quociente que fizemos lá no Passo 1:

g ' x = - 4 c o t g 2 x c o s e c 2 2 x   .   1 + x 2 - c o t g 2 2 x .   2 x ( 1 + x 2 ) 2

Simplificando:

f ' x = 2 c o t g 2 x [ 2 x 2 + 2 c o s e c 2 2 x + c o t g 2 x ] ( 1 + x 2 ) 2

Resposta

f ' x = 2 c o t g 2 x [ 2 x 2 + 2 c o s e c 2 2 x + c o t g 2 x ] ( 1 + x 2 ) 2

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