Calcule F'(x) sendo F(x) igual a

(1 + raiz(x)) \* e^x \* tg(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = 1 + x e x

e

g x = tg ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = 1 + x e x ' ⋅ tg ⁡ x + tg ⁡ x ' ⋅ 1 + x e x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica, do polinômio e da função constante:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Temos que:

r x = 1 + x

e

s x = e x

Assim:

1 + x e x ' = r ' x s x + s ' x r x = 1 + x ' ⋅ e x + e x ' ⋅ 1 + x

Para calcular r ' x vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

r ' ( x ) = 1 + x ' = 1 + x 1 2 ' = 0 + 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

s ' ( x ) = e x ' = e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Substituindo de volta:

1 + x e x ' = 1 + x ' ⋅ e x + e x ' ⋅ 1 + x = 1 2 x ⋅ e x + e x ⋅ 1 + x = e x 1 2 x + 1 + x

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = 1 + x e x ' ⋅ tg ⁡ x + tg ⁡ x ' ⋅ 1 + x e x = e x 1 2 x + 1 + x ⋅ tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + x e x = e x tg ⁡ x 2 x + tg ⁡ x + tg ⁡ x x + sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + x

Resposta

f ' x = e x tg ⁡ x 2 x + tg ⁡ x + tg ⁡ x x + sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + x

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