Nos exercícios de 31 a 42, ache f'(a) para o valor de f'(a)

42. f(x) = 1 / (cotgx - 1) a = 3pi / 4

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Derivando:

f ' x = 1 ' ⋅ ( c o t g x - 1 ) - c o t g x - 1 ' ⋅ 1 c o t g x - 1 2

                    = 0 ⋅ ( c o t g x - 1 ) - - c o s e c ² x ⋅ 1 c o t g x - 1 2

                    = c o s e c ² x c o t g x - 1 2

Passo 3

Vamos agora substituir o x pelo valor de a:

c o s e c x = c o s e c 3 π 4 =   1 s e n 3 π 4   = 1 1 2 = 2

c o t g x = c o t g 3 π 4 =   1 t g 3 π 4     = 1 - 1 =   - 1

Passo 4

Por fim, substituímos os valores na nossa derivada e acharemos o valor final da derivada.

f ' x = c o s e c ² x c o t g x - 1 2

                        =   2 2 - 1 - 1 2

                      =   2 4 =   1 2  

Resposta

f ' x = 1 2  

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