Calcule a derivada.

d) y = (2x + 1)^x

Passo 1

Para resolver essa derivada, vamos utilizar a regra da cadeia e a regra para derivada de expoentes, mas vamos aos poucos, nossa função é:

y = 2 x + 1 x

Pela regra da derivada de expoentes, ela pode ser reescrita como:

y = f x g x

E sua derivada seria dada por:

d y d x = f x g x . [ g x l n f x ] '

Onde pelo nosso problema, temos que

g x = x

f x = 2 x + 1

Substituindo nossa f x e nossa g ( x ) ...

d y d x = 2 x + 1 x . [ x l n 2 x + 1 ] '

Agora, só falta sabermos derivar esse cara aí da esquerda!

Passo 2

É agora que entra a famosa regra do produto:

x . ln ⁡ 2 x + 1 ' = 1 . ln ⁡ 2 x + 1 + x . [ ln ⁡ 2 x + 1 ] '

Regra do produto aplicada! Derivamos o x , que foi tranquilo. Agora precisamos derivar o l n ⁡ ( 2 x + 1 ) , e para ele, vamos aplicar a regra da cadeira! Bora?

ln ⁡ 2 x + 1 ' = 2 x + 1 ' . l n ' ( 2 x + 1 )

ln ⁡ 2 x + 1 ' = 2   . 1 2 x + 1 = 2 2 x + 1

Dessa forma, substituindo:

x . ln ⁡ 2 x + 1 ' = ln ⁡ 2 x + 1 + 2 x 2 x + 1

Pronto, derivada calculada é substituir na fórmula agora!

Passo 3

Agora, para fechar nossa questão, é só substituir tudão :D

d y d x = f x g x . [ g x l n f x ] '

d y d x = 2 x + 1 x . x l n 2 x + 1 '

d y d x = 2 x + 1 x . ln ⁡ 2 x + 1 + 2 x 2 x + 1

Resposta

d y d x = 2 x + 1 x   ln ⁡ 2 x + 1 + 2 x 2 x + 1

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