Enunciado

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Calcule as derivadas parciais de

w x , y , z = x y z x + y + z

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de três variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos w x , y , z = x y z x + y + z . Assim, calculando a derivada em x , temos:

∂ w x , y , z ∂ x = ∂ ∂ x x y z x + y + z = x y z ∂ ∂ x 1 x + y + z + 1 x + y + z ∂ ∂ x x y z

Dai,

∂ w x , y , z ∂ x = x y z - 1 x + y + z 2 + 1 x + y + z y z

Limpando um pouquinho mais, chegamos a

∂ w x , y , z ∂ x = - x y z x + y + z 2 + y z x + y + z x + y + z 2 = y z y + z x + y + z 2

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

∂ w x , y , z ∂ y = ∂ ∂ y x y z x + y + z = x y z ∂ ∂ y 1 x + y + z + 1 x + y + z ∂ ∂ y x y z

Dai,

∂ w x , y , z ∂ y = x y z - 1 x + y + z 2 + 1 x + y + z x z

Limpando um pouquinho mais, chegamos a

∂ w x , y , z ∂ y = - x y z x + y + z 2 + x z x + y + z x + y + z 2 = y z x + z x + y + z 2

Passo 4

Por fim, calculando a derivada em z , temos:

∂ w x , y , z ∂ z = ∂ ∂ z x y z x + y + z = x y z ∂ ∂ z 1 x + y + z + 1 x + y + z ∂ ∂ z x y z

Dai,

∂ w x , y , z ∂ z = x y z - 1 x + y + z 2 + 1 x + y + z x y

Limpando um pouquinho mais, chegamos a

∂ w x , y , z ∂ z = - x y z x + y + z 2 + x y x + y + z x + y + z 2 = x y x + y x + y + z 2

Resposta

∂ w x , y , z ∂ x = y z y + z x + y + z 2

∂ w x , y , z ∂ y = y z x + z x + y + z 2

∂ w x , y , z ∂ z = x y x + y x + y + z 2

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