Calcule as derivadas parciais de

w(x, y, z) = x^2 \* arcsen(y / z)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de três variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos w x , y , z = x 2 arcsin ⁡ y z . Assim, calculando a derivada em x , temos:

∂ w x , y , z ∂ x = ∂ ∂ x x 2 arcsin ⁡ y z = x 2 ∂ ∂ x arcsin ⁡ y z + arcsin ⁡ y z ∂ ∂ x x 2

Dai,

∂ w x , y , z ∂ x = 0 + arcsin ⁡ y z 2 x = arcsin ⁡ y z 2 x

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

∂ w x , y , z ∂ y = ∂ ∂ y x 2 arcsin ⁡ y z = x 2 ∂ ∂ y arcsin ⁡ y z + arcsin ⁡ y z ∂ ∂ y x 2

Daí, lembrando que a derivada do arcsin ⁡ y é 1 1 - y 2 :

∂ w x , y , z ∂ y = x 2 1 1 - y z 2 1 z + 0 = x 2 1 z 2 - y 2

Passo 4

finalmente, calculando a derivada em z , temos:

∂ w x , y , z ∂ z = ∂ ∂ z x 2 arcsin ⁡ y z = x 2 ∂ ∂ z arcsin ⁡ y z + arcsin ⁡ y z ∂ ∂ z x 2

Daí, lembrando que a derivada do arcsin ⁡ z é 1 1 - z 2 :

∂ w x , y , z ∂ z = x 2 1 1 - y z 2 ∂ ∂ z y z + 0 = x 2 1 - y z 2 - y z 2

Resposta

∂ w x , y ∂ x = arcsin ⁡ y z 2 x

∂ w x , y ∂ y = x 2 1 z 2 - y 2

∂ w x , y , z ∂ z = x 2 y z 2 1 - y z 2

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