Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

G x , y , z = e x z   s e n   y z

Passo 1

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

Neste caso, temos uma função de x , y e z . Como o x sá aparece na exponencial:

∂ G ∂ x = e x z   s e n   y z ⋅ ∂ ∂ x ( x z )

Logo,

∂ G ∂ x = z e x z   s e n   y z

Analogamente para y :

∂ G ∂ y = e x z cos ⁡ y z ⋅ ∂ ∂ y y z

Portanto,

∂ G ∂ y = e x z z cos ⁡ y z

Passo 2

Já para fazer a derivada com relação a z você precisa tomar mais cuidado pois essa variável aparece em dois lugares! Pela regra do produto:

∂ G ∂ z = e x z   s e n   y z ⋅ ∂ ∂ z x z + e x z cos ⁡ y z ⋅ ∂ ∂ z y z

Assim,

∂ G ∂ z = x e x z   s e n   y z - y z 2 e x z cos ⁡ y z

Resposta

∂ G ∂ x = z e x z   s e n   y z

∂ G ∂ y = e x z z cos ⁡ y z

∂ G ∂ z = x e x z   s e n   y z - y z 2 e x z cos ⁡ y z

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