Calcule ∂z/∂u e ∂z / ∂v determinando a função z(u, v) :

z = x^2 \* y , x = u / v , y = u \* e^v

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente vai ter de substituir as variaveis x e y pela função que elas equivalem, porque assim a gente vai conseguir formar uma função apenas em função de u e v . Então bora lá!

z = x 2 y

Substituindo ficamos com: z = u v 2 ⋅ ( u ⋅ e v )

→ z = u 3 v 2 ⋅ e v

Passo 2

Belezinha, agora vamos ter que devirar isso, primeiro em relação a u usando apenas a definição da derivada, fica assim:

∂ z ∂ u = 3 u 2 v 2 ⋅ e v

Passo 3

Agora vamos derivar em relação a v , mas pra isso usaremos a propriedade da derivada do produto:

∂ z ∂ v = f ' v ⋅ g v + f v ⋅ g ' ( v )

→ ∂ z ∂ v = u 3 v 2 ' ⋅ e v + u 3 v 2 ⋅ e v '

→ ∂ z ∂ v = - 2 u 3 v 3 ⋅ e v + u 3 v 2 ⋅ ( e v )

→ ∂ z ∂ v = - 2 u 3 v 3 ⋅ e v + u 3 v 2 ⋅ e v

→ ∂ z ∂ v = u 3 v 2 ⋅ e v 1 - 2 v

E prontinho. 😊

Resposta

∂ z ∂ u = 3 u 2 v 2 ⋅ e v

∂ z ∂ v = u 3 v 2 ⋅ e v ⋅ 1 - 2 v

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