Calcule ∂z/∂u e ∂z / ∂v determinando a função z(u, v) :

z = x^2 + y^2 , x = u \* sen(v) , y = v \* cos(u)

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente vai ter de substituir as variaveis x e y pela função que elas equivalem, porque assim a gente vai conseguir formar uma função apenas em função de u e v . Então bora lá!

z = x 2 + y 2

Substituindo ficamos com:

z = ( u ⋅ sin ⁡ v ) 2 + ( v ⋅ cos ⁡ u ) 2

→ z = u 2 ⋅ sin 2 ⁡ v + v 2 ⋅ cos 2 ⁡ u

Passo 2

Belezinha, agora vamos ter que devirar isso, primeiro em relação a u usando a propriedade da derivada do produto, que é bem assim:

f x ⋅ g x ' = f ' v ⋅ g v + f v ⋅ g ' ( v )

Agora vamos lá, temos a soma de dois produtos:

∂ z ∂ u = u 2 ' ⋅ sin 2 ⁡ v + u 2 ⋅ ( sin 2 ⁡ v ) ' + v 2 ' ⋅ cos 2 ⁡ u + v 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ u ) '

= ( 2 u ) ⋅ sin 2 ⁡ v + u 2 ⋅ 0 + ( 0 ) ⋅ cos 2 ⁡ u + v 2 ⋅ ( - sin ⁡ 2 x )

= ( 2 u ) ⋅ sin 2 ⁡ v + v 2 ⋅ ( - sin ⁡ 2 x )

= 2 u sin 2 ⁡ v - v 2 sin ⁡ 2 x

Passo 3

Agora vamos derivar em relação a v , onde também precisamos usar a propriedade da derivada do produto:

∂ z ∂ v = u 2 ' ⋅ sin 2 ⁡ v + u 2 ⋅ ( sin 2 ⁡ v ) ' + v 2 ' ⋅ cos 2 ⁡ u + v 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ u ) '

= 0 ⋅ sin 2 ⁡ v + u 2 ⋅ sin ⁡ 2 v + 2 v ⋅ cos 2 ⁡ u + v 2 ⋅ 0

= u 2 ⋅ sin ⁡ 2 v + 2 v ⋅ cos 2 ⁡ u

= u 2 ⋅ sin ⁡ 2 v + 2 v ⋅ cos 2 ⁡ u

E prontinho. 😊

Resposta

∂ z ∂ u = 2 u sin 2 ⁡ v - v 2 sin ⁡ 2 x

∂ z ∂ v = u 2 ⋅ sin ⁡ 2 v + 2 v ⋅ cos 2 ⁡ u

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