Calcule, se existir:

a ) ∫ - ∞ + ∞ senh ⁡ x d x

b ) lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r senh ⁡ x d x

Passo 1

Letra a )

Vamos começar calculando:

∫ - ∞ + ∞ senh ⁡ x d x

Para isso, devemos fazer

∫ - ∞ + ∞ senh ⁡ x d x = ∫ - ∞ 0 senh ⁡ x d x + ∫ 0 + ∞ senh ⁡ x d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ - ∞ 0 senh ⁡ x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 senh ⁡ x d x

∫ 0 + ∞ senh ⁡ x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b senh ⁡ x d x

∫ - ∞ + ∞ senh ⁡ x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 senh ⁡ x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b senh ⁡ x d x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Passo 2

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

∫ senh ⁡ x d x

Então vamos começar por ela.

∫ senh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 senh ⁡ x d x = lim a → - ∞ ⁡ cosh ⁡ x a 0 =

lim a → - ∞ ⁡ cosh ⁡ 0 - cosh ⁡ a =

Lembrando que

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então:

lim a → - ∞ ⁡ e 0 + e - 0 2 - e a + e - a 2 = lim a → - ∞ ⁡ 1 + 1 2 - e a + e - a 2 =

1 + 1 2 - e ∞ + e - ∞ 2 = 1 - ∞ + 0 2 = - ∞

Logo ela vai divergir. Não precisamos fazer a outra parte.

Passo 4

Vamos para a letra b

lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r sen h ⁡ x d x

Começando com

∫ - r + r sen h ⁡ x d x

Vamos ter:

∫ - r + r sen h ⁡ x d x = cos h ⁡ x - r r = cos h ⁡ r - cos h ⁡ - r

Lembrando que:

cosh ⁡ r - cosh ⁡ - r = e r + e - r 2 - e - r + e r 2 = 0

Então

∫ - r + r sen h ⁡ x d x = 0

Passo 5

Voltando para o limite:

lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r sen ⁡ x d x = lim r → + ∞ ⁡ 0 = 0

Resposta

Letra a ) Não converge

Letra b ) 0

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