Enunciado

Calcule, se existir:

a ) int_(- oo)^(+ oo) senh x d x

b ) underset(r -> + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) senh x d x

Passo 1

Letra a )

Vamos começar calculando:

int_(- oo)^(+ oo) senh x d x

Para isso, devemos fazer

int_(- oo)^(+ oo) senh x d x = int_(- oo)^0 senh x d x + int_0^(+ oo) senh x d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

int_(- oo)^0 senh x d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 senh x d x

int_0^(+ oo) senh x d x = underset(b -> + oo)(lim) int_0^b senh x d x

int_(- oo)^(+ oo) senh x d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 senh x d x + underset(b -> + oo)(lim) int_0^b senh x d x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Passo 2

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

int senh x d x

Então vamos começar por ela.

int senh x d x = cosh x + C

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 senh x d x = underset(a -> - oo)(lim) (cosh x)_a^0 =

underset(a -> - oo)(lim) ((cosh 0) - (cosh a)) =

Lembrando que

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Então:

underset(a -> - oo)(lim) (((e^0 + e^(- 0))/(2)) - ((e^a + e^(- a))/(2))) = underset(a -> - oo)(lim) (((1 + 1)/(2)) - ((e^a + e^(- a))/(2))) =

((1 + 1)/(2)) - ((e^(oo) + e^(- oo))/(2)) = 1 - ((oo + 0)/(2)) = - oo

Logo ela vai divergir. Não precisamos fazer a outra parte.

Passo 4

Vamos para a letra b

underset(r -> + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) sen h x d x

Começando com

int_(- r)^(+ r) sen h x d x

Vamos ter:

int_(- r)^(+ r) sen h x d x = (cos h x)_(- r)^r = (cos h r) - (cos h (- r))

Lembrando que:

(cosh r) - (cosh (- r)) = ((e^r + e^(- r))/(2)) - ((e^(- r) + e^r)/(2)) = 0

Então

int_(- r)^(+ r) sen h x d x = 0

Passo 5

Voltando para o limite:

underset(r -> + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) sen x d x = underset(r -> + oo)(lim) 0 = 0

Resposta

Letra a ) Não converge

Letra b ) 0

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