Enunciado

Determine se é possível atrivuir um número finito para representar a área da região limitada pela curva cuja equação é

y = 1 e x + e - x

E pelo eixo x . Caso seja possível, determine-o

Passo 1

Basicamente o que ele quer é:

∫ - ∞ + ∞ d x e x + e - x

Para isso, devemos fazer

∫ - ∞ + ∞ d x e x + e - x = ∫ - ∞ 0 d x e x + e - x + ∫ 0 + ∞ d x e x + e - x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ - ∞ 0 d x e x + e - x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x e x + e - x

∫ 0 + ∞ d x e x + e - x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x e x + e - x

∫ - ∞ + ∞ d x e x + e - x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x e x + e - x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x e x + e - x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

∫ d x e x + e - x

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ d x e x + e - x

Vamos começar dando uma algebrizada naquela fração:

1 e x + e - x = 1 e x + 1 e x = 1 e 2 x + 1 e x = e x e 2 x + 1

A integral vai ficar:

∫ e x d x e 2 x + 1

Aquele e x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = e x → d a = e x d x

Vamos ter:

∫ e x d x e 2 x + 1 = ∫ d a a 2 + 1

Passo 3

Vamos para a integral em a

∫ d a a 2 + 1

Ela vai ser exatamente a integral da tg - 1 ⁡  

∫ d a a 2 + 1 = tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

tg - 1 ⁡ a + C = tg - 1 ⁡ e x + C

∫ d a e x + e - x = tg - 1 ⁡ e x + C

Passo 4

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x e x + e - x = lim a → - ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ e x a 0 =

lim a → - ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ e 0 - tg - 1 ⁡ e a = lim a → - ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ e a =

tg - 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ e - ∞ = tg - 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ 0

Temos que

tg - 1 ⁡ 1 = π 4

tg - 1 ⁡ 0 = 0

Entao,

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x e x + e - x = π 4

Passo 5

Agora o outro limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b d x e x + e - x = lim b → + ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ e x 0 b =

lim b → + ∞ ⁡ tg - 1 ⁡ e b - tg - 1 ⁡ e 0 = tg - 1 ⁡ e + ∞ + tg - 1 ⁡ 1

= tg - 1 ⁡ + ∞ - tg - 1 ⁡ 1 = π 2 - π 4 = π 4

Faz sentido as duas integrais serem iguais por que a nossa função é par :D

Passo 6

Agora, vamos ter que:

∫ - ∞ + ∞ d x e x + e - x = π 4 + π 4 = π 2

Logo ela e convergente. E converge para π / 2

Resposta

π / 2

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Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê. ∫ 0 π / 4 t g x d x
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Calcule as integrais que convirjam. ∫ 0 8 d x x 3
Calcule as integrais que convirjam. ∫ π / 3 π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - 3 1 x d x 9 - x 2