Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:

∫ 0 2 d x x - 1  

Passo 1

Primeiro devemos encontrar as expressões equivalentes a 1 x - 1 em 0 ≤ x ≤ 2 sem os valores absolutos.Assim, temos que:

Para 0 ≤ x ≤ 1 :   1 - x + 1 e para 1 ≤ x ≤ 2 :     1 x - 1

Logo, podemos reescrever nossa integral da seguinte maneira:

∫ 0 2 d x x - 1   = ∫ 0 1 1 - x + 1   d x + ∫ 1 2 1 x - 1   d x

Passo 2

Aplicando a integração por substituição e a regra da potência na primeira e na segunta integral, temos:

∫ 0 1 1 - x + 1   d x ⇒ u =   - x + 1   e   d u =   - d x ⇒ ∫ 0 1 - 1 u d u =

= ∫ 0 1 - u - 1 2 d u = - u 1 2 1 2 1 0 = - 2 - x + 1   1 0

∫ 1 2 1 x - 1   d x ⇒ u =   x - 1   e   d u =   d x ⇒ ∫ 1 2 1 u d u =

∫ 1 2 u - 1 2 d u = u 1 2 1 2 2 1 = 2 x - 1   2 1

Lembre-se que a integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

E que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- 2 - x + 1   1 0 + 2 x - 1   2 1 = 0 - - 2 1 + 2 1 - 0 = 2 + 2 = 4

Resposta

4

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