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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais quanto à cinvergência.

∫ 0 π 2 t g   θ   d θ

Passo 1

Aplicando a identidade trigonométrica t g   θ = s e n θ cos ⁡ θ e depois a integração por substituição, temos:

∫ 0 π 2 t g   θ   d θ = ∫ 0 π 2 s e n   θ cos ⁡ θ   d θ

u = cos ⁡ θ                   d u =   - s e n   θ   d θ

Lembre-se que podemos alterar os limites de integração:

π 2 = cos ⁡ θ ⇒ θ = 0

0 = cos ⁡ θ ⇒ θ = 1

Passo 2

Aplicando a substituição e temos:

∫ 0 π 2 t g   θ   d θ =   ∫ 1 0 - 1 u   d u

Passo 3

Efetuando a integração:

∫ 1 0 - 1 u   d u = ∫ 0 1 1 u   d u =   ( ln ⁡ | u | ) 1 0 =   ( ln ⁡ | 1 | - ln ⁡ 0 |    

Relembrando que de forma genéricaaplicamos os limites de integração da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Para determinar a convergência, temos a seguinte definição:

∫ a b f x d x = F b - F a = lim x → b - ⁡ F x - lim x → a + ⁡ ( F x )

Assim, temos:

lim u → 0 + ⁡ ( ln ⁡ u ) =   - ∞

lim u → 1 - ⁡ ( ln ⁡ | u | ) = 0

Resposta

Diverge

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