Calcule as integrais.

∫ 0 ln ⁡ 3 e x - e - x e x + e - x d x

Passo 1

Começamos calculando a integral, mas para isso é necessário transformar as expressões da seguinte forma:

∫ 0 ln ⁡ 3 e x - 1 e x e x + 1 e x d x

Tiramos o MMC:

∫ 0 ln ⁡ 3 e 2 x - 1 e x e 2 x + 1 e x d x

Simplificamos a expressão:

∫ 0 ln ⁡ 3 e 2 x - 1 e 2 x + 1 d x

Separamos as frações em duas:

∫ 0 ln ⁡ 3 e 2 x e 2 x + 1 - 1 e 2 x + 1 d x

Assim, temos:

= 1 2 × ln ⁡ ( e 2 x + 1 ) - x + 1 2 × ln ⁡ ( e 2 x + 1 )

= ln ⁡ e 2 x + 1 - x 0 ln ⁡ 3

Substituindo os intervalos de integração:

= ln ⁡ e 2 × ln ⁡ 3 + 1 - ln ⁡ 3 - ln ⁡ e 2 × 0 + 1 - ln ⁡ 0

= ln ⁡ 5 3

Resposta

= ln ⁡ 5 3

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