Calcule as integrais.

Passo 1

Se ligue temos uma integral de potências de seno e cosseno, então vamos ter que usar as regras de impar e par e etc.

Nesse caso, temos que a potência do seno é impar, enquanto do cosseno é par, então, vamos escrever a potência impar como para usar a identidade cos 2 ⁡ x   + s e n 2   x = 1 .

Vamos lá,

∫ cos 5 ⁡ x     s e n 5 x   d x = ∫   s e n 5 x 1 - s e n 2 x 2 c o s x   d x

          =   ∫   s e n 5 x   c o s x   d x - 2   ∫   s e n 7 x cos ⁡ x d x + ∫   s e n 9 x   c o s x   d x

Passo 2

Agora que facilitamos nossas contas, vamos resolver cada uma das integrais, separadamente, blz?

Vamos resolver a primeira integral, ou seja,   ∫   s e n 5 x   c o s x   d x .

Perceba que basta fazer uma substituição...em geral esse método é usado para recair numa.

Então é só chamar   u = s e n x     ⟹ d u = c o s x     d x .

∫   s e n 5 x   c o s x   d x = ∫   u 5   d u = u 6 6   = s e n 6 x 6

Resolvendo a outra integral, ( ∫   s e n 7 x cos ⁡ x d x )

Tomando, mais uma vez u = s e n x     ⟹ d u = c o s x     d x

Daí,

∫   s e n 7 x cos ⁡ x d x = ∫   s e n 7 d u = s e n 8 x 8

E, por fim

∫   s e n 9 x   c o s x   d x = ∫   u 9   d u = s e n 10 x 10

Com   u = s e n x ⟹ d u = c o s x   d x   .

Passo 3

Substituindo na integral inicial,

∫ cos 5 ⁡ x     s e n 5 x   d x = ∫   s e n 5 x   c o s x   d x - 2   ∫   s e n 7 x cos ⁡ x d x + ∫   s e n 9 x   c o s x   d x

= s e n 6 x 6 - 2   s e n 8 x 8 +   s e n 10 x 10 + C      

Resposta

∫ cos 5 ⁡ x     s e n 5 x   d x =   s e n 6 x 6 - s e n 8 x 4 + s e n 10 x 10 + C  

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