Enunciado

Calcule a integral

int cos (7 theta) cos (5 theta) d theta

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema queremos calcular a integral

int cos (7 theta) cos (5 theta) d theta

Tem ideia de como fazemos isso?

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica

cos (A) cos (B) = (1)/(2) [cos (A - B) + cos (A + B)]

Então, substituindo na integral, ficamos com

int cos (7 theta) cos (5 theta) d theta = int (1)/(2) [cos (7 theta - 5 theta) + cos (7 theta + 5 theta)] d theta

int cos (7 theta) cos (5 theta) d theta = (1)/(2) int (cos (2 theta) + cos (12 theta)) d theta

Podemos separar esta integral em duas da seguinte forma

(1)/(2) int (cos (2 theta) + cos (12 theta)) d theta = (1)/(2) [int cos (2 theta) d theta + int cos (12 theta) d theta]

Veja só!

Passo 2

Vamos calcular cada integral separadamente.

Calculando a primeira

int cos (2 theta) d theta

Seja u = 2 theta , temos que d u // 2 = d theta . Substituindo

int cos (2 theta) d theta = (1)/(2) int cos (u) d u = (1)/(2) sin (u) + c_1 = (1)/(2) sin (2 theta) + c_1

Calculando a segunda

int cos (12 theta) d theta

De forma análoga a primeira

int cos (12 theta) d theta = (1)/(12) sin (12 theta) + c_2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, podemos substituir o que encontramos

(1)/(2) [int cos (2 theta) d theta + int cos (12 theta) d theta] = (1)/(2) [(1)/(2) sin (2 theta) + c_1 + (1)/(12) sin (12 theta) + c_2]

(1)/(2) [int cos (2 theta) d theta + int cos (12 theta) d theta] = (1)/(4) sin (2 theta) + (1)/(24) sin (12 theta) + k

Note que uma constante somada com outra constante resulta em uma outra constante, a qual chamei de k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

int cos (7 theta) cos (5 theta) d theta = (1)/(4) sin (2 theta) + (1)/(24) sin (12 theta) + k

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