Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 4 d x 4 - x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 4 d x 4 - x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 4 d x 4 - x = lim a → 4 - ⁡ ∫ 0 a d x 4 - x

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = 4 - x ,   t a l   q u e   d u = - d x

Teremos:

Quando x = a → u = 4 - a

Quando x = 0 → u = 4

Logo:

lim a → 4 - ⁡ ∫ 0 a d x 4 - x = lim a → 4 - ⁡ ∫ 4 4 - a - d u u

E resolvendo a integral:

lim a → 4 - ⁡ ∫ 4 4 - a - d u u = - lim a → 4 - ⁡ 2 u | 4 - a 4

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 4 - ⁡ ∫ 0 a d x 4 - x = - 2 lim a → 4 - ⁡ 4 - a - 4

Logo:

lim a → 4 - ⁡ ∫ 0 a d x 4 - x = - 2 0 - 2 = 4

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 4 d x 4 - x = 4

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