Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 8 d x x 3

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 8 d x x 3

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 8 d x x 3 = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 8 d x x 3

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo a integral, teremos:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 8 d x x 3 = lim a → 0 + ⁡ 3 2 x 2 / 3 | 8 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 + ⁡ 3 2 x 2 / 3 | 8 a = 3 2 lim a → 0 + ⁡ 8 2 / 3 - a 2 / 3

Logo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 8 d x x 3 = 3 2 4 - 0 = 6

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 8 d x x 3 = 6

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