Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ 1 x e 2 x   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Como um dos limites de integração é infinito, essa é uma integral impropria do tipo 1. Trocando o limite infinito por t , obtemos a integral

∫ t 1 x e 2 x   d x

Devemos calculá-la e depois fazer t → - ∞ .

Passo 2

A integral acima é calculada usando integração por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = x e d v = e 2 x d x , temos que d u = d x e v = 1 2 e 2 x . Assim,

∫ t 1 x e 2 x   d x = 1 2 x e 2 x t 1 - 1 2 ∫ t 1 e 2 x d x = 1 2 x e 2 x - 1 4 e 2 x t 1

Portanto,

∫ t 1 x e 2 x   d x = 1 2 e 2 - 1 4 e 2 - 1 2 t e 2 t + 1 4 e 2 t = 1 4 e 2 - 1 2 t e 2 t + 1 4 e 2 t

Passo 3

Sabemos que

lim t → - ∞ ⁡ e 2 t = 0

Além disso,

lim t → - ∞ ⁡ t e 2 t = lim t → - ∞ ⁡ t e - 2 t

Como se trata de uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Assim,

lim t → - ∞ ⁡ t e 2 t = lim t → - ∞ ⁡ t e - 2 t = lim t → - ∞ ⁡ 1 - 2 e - 2 t = 0

Assim,

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 1 x e 2 x   d x = lim t → - ∞ ⁡ 1 4 e 2 - 1 2 t e 2 t + 1 4 e 2 t = 1 4 e 2

Resposta

1 4 e 2

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