Calcule as integrais que convirjam.

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x x 2 + 2 d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 2 d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o segundo limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = x 2 + 2 ,   t a l   q u e   d u = 2 x d x

Teremos:

Quando x = b → u = b 2 + 2

Quando x = 0 → u = 2

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 2 + 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b 2 + 2 1 u d u 2

E resolvendo a integral:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 u d u 2 = 1 2 lim b → + ∞ ⁡ 2 u | b 2 + 2 2

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ b 2 + 2 - 2

Logo:

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x = + ∞

Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso é o suficiente para que a integral seja divergente.

Resposta

∫ - ∞ + ∞ x x 2 + 2 d x = + ∞

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