Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^(+ oo) (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^(+ oo) (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^(+ oo) (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x + underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o segundo limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = x^2 + 2 , t a l q u e d u = 2 x d x

Teremos:

Quando x = b -> u = b^2 + 2

Quando x = 0 -> u = 2

Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x = underset(b -> + oo)(lim) int_2^(b^2 + 2) (1)/(sqrt(u)) ((d u)/(2))

E resolvendo a integral:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (1)/(sqrt(u)) ((d u)/(2)) = (1)/(2) underset(b -> + oo)(lim) [2 sqrt(u)] | [[b^2,+,2],[2]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_(- oo)^(+ oo) (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x = underset(b -> + oo)(lim) [sqrt(b^2 + 2) - sqrt(2)]

Logo:

int_(- oo)^(+ oo) (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x = + oo

Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso é o suficiente para que a integral seja divergente.

Resposta

int_(- oo)^(+ oo) (x)/(sqrt(x^2 + 2)) d x = + oo

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = e - x
Calcule ∫ 0 1 1 xd x
Calcule ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Calcule ∫ 0 1 ln ⁡ xd x
Calculeint_0^1 (1)/(root(3)(x)) d x