Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Use um recurso gráfico computacional para determinar quantas soluções tem a equação e, então, use o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça a condição dada.

1 + e x sen ⁡ x = 0 ;         π 2 < x < 3 π 2

Passo 1

Vamos olhar no gráfico abaixo quantas soluções tem a equação:

No gráfico notamos que possui infinitas soluções, vamos agora usar o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça π 2 < x < 3 π 2 , vamos lá!!

Passo 2

Vamos agora aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica, da função exponencial e da função constante:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

e x ' = e x

k ' = 0

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 1 + e x sen ⁡ x ' = 0 + e x sen ⁡ x + e x cos ⁡ x = e x sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 1 + e x n sen ⁡ x n e x n sen ⁡ x n + cos ⁡ x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 3 , satisfazendo a condição de π 2 < x < 3 π 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 1 + e x 1 sen ⁡ x 1 e x 1 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 = 3 - 1 + e 3 sen ⁡ 3 e 3 sen ⁡ 3 + cos ⁡ 3 ≈ 3,22489488

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 1 + e x 2 sen ⁡ x 2 e x 2 sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 =

= 3,22489488 - 1 + e 3,22489488 sen ⁡ 3,22489488 e 3,22489488 sen ⁡ 3,22489488 + cos ⁡ 3,22489488 ≈ 3,1846573923

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 1 + e x 3 sen ⁡ x 3 e x 3 sen ⁡ x 3 + cos ⁡ x 3 =

= 3,1846573923 - 1 + e 3,1846573923 sen ⁡ 3,1846573923 e 3,1846573923 sen ⁡ 3,1846573923 + cos ⁡ 3,1846573923 ≈

≈ 3,18 30654477

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 1 + e x 4 sen ⁡ x 4 e x 4 sen ⁡ x 4 + cos ⁡ x 4 =

= 3,1830654477 - 1 + e 3,1830654477 sen ⁡ 3,1830654477 e 3,1830654477 sen ⁡ 3,1830654477 + cos ⁡ 3,1830654477 ≈

≈ 3,18306 30119

Agora com x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - 1 + e x 5 sen ⁡ x 5 e x 5 sen ⁡ x 5 + cos ⁡ x 5 =

= 3,1830630119 - 1 + e 3,1830630119 sen ⁡ 3,1830630119 e 3,1830630119 sen ⁡ 3,1830630119 + cos ⁡ 3,1830630119 ≈

≈ 3,1830630119

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 3,1830630119 .

Resposta

A raiz é 3,1830630119 .

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