Calcule

∫ 0 1 ln ⁡ x   d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 0 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

∫ 0 1 ln ⁡ x   d x = lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 ln ⁡ x   d x

Passo 2

Para resolvermos essa integral, vamos usar um macete, usando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Mas nós só temos uma função, então vamos dizer que

∫ ln ⁡ x   d x = ∫ 1 ⋅ ln ⁡ x   d x

E as nossas funções são

f = ln ⁡ x g ' = 1   →   f ' = 1 x g = x

Então

∫ ln ⁡ x   d x = x ⋅ ln ⁡ x - ∫ 1 x ⋅ x   d x

= x ⋅ ln ⁡ x - ∫ 1   d x = x ⋅ ln ⁡ x - x + C

No limite

lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 ln ⁡ x   d x = lim t → 0 ⁡ x ⋅ ln ⁡ x - x t 1

Passo 3

Substituindo os limites de integração

lim t → 0 ⁡ x ⋅ ln ⁡ x - x t 1 = lim t → 0 ⁡ 1 ⋅ ln ⁡ 1 - 1 - t ⋅ ln ⁡ t - t

= - 1 - lim t → 0 ⁡ t ⋅ ln ⁡ t

Para esse limite vamos manipular um pouco

lim t → 0 ⁡ t ⋅ ln ⁡ t = lim t → 0 ⁡ ln ⁡ t 1 / t

E então aplicamos L’Hospital

= lim t → 0 ⁡ 1 / t   - 1 / t 2 = - lim t → 0 ⁡ t 2 t = 0

Então

∫ 0 1 ln ⁡ x   d x = - 1

Resposta

- 1

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