Calcule as integrais que convirjam.

∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar dois limites, um contendo cada limite da integral. Fazendo isso:

∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1 = lim a → 1 + ⁡ ∫ a 2 d x x x 2 - 1 + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x x 2 - 1

Assim, caso um dos limites não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir resultando em valores inteiros.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (aqui a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério!!) usando a fórmula 23 na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 10 ª Ed. - ANTON, teremos que:

lim a → 1 + ⁡ ∫ a 2 d x x x 2 - 1 = lim a → 1 + ⁡ arcsec ⁡ x | 2 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 1 + ⁡ ∫ a 2 d x x x 2 - 1 = lim a → 1 + ⁡ arcsec ⁡ 2 - arcsec ⁡ a

Logo:

lim a → 1 + ⁡ ∫ a 2 d x x x 2 - 1 = arcsec ⁡ 2 = π 3

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x x 2 - 1 = lim b → + ∞ ⁡ arcsec ⁡ x | b 2

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x x 2 - 1 = lim b → + ∞ ⁡ arcsec ⁡ b - arcsec ⁡ 2

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x x 2 - 1 = π 2 - π 3 = π 6

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1 = π 3 + π 6 = 3 π 6

Logo:

∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1 = π 2

Resposta

∫ 1 + ∞ d x x x 2 - 1 = π 2

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