Enunciado

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Se f for contínua em a ,   + ∞ e lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , então ∫ a + ∞ f x d x converge.

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para o caso do nosso exercício, precisamos lembrar parte da teria sobre as integrais impróprias.

Lembrando do Teorema 7.8 . 1 (página 549 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. – ANTON), temos que uma integral imprópria de f no intervalo a ,   + ∞ é definida por:

∫ a + ∞ f x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

No caso em que o limite existe, a integral converge para o valor desse limite.

Passo 2

Pelo limite dado no enunciado:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

Colocando essa informação no gráfico da função f x , iremos ter algo parecido com:

A curva irá apresentar uma assíntota horizontal quando x cresce infinitamente.

Passo 3

Dessa forma, se formos analisar a área dessa curva, não poderemos calcular de forma direta, porque não conseguimos calcular uma área infinita. Para tanto, temos a maneira de fazer isso através do limite de uma integral dado pelo Teorema citado antes:

∫ a + ∞ f x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

Como a função f é contínua no intervalo dado, e a assíntota horizontal da curva dela converge para um valor inteiro, sendo a uma constante inteira, a área pode ser limitada a uma área de valor inteiro e não infinito, como visto na segura abaixo (área sob a curva e limitada pelas linhas tracejadas):

Portanto, a integral tem resultado inteiro e, por isso, é convergente.

Resposta

Verdadeiro

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