Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 1 d x x x + 1

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 1 d x x x + 1

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 1 d x x x + 1 = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, o limite deve existir resultando em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite pelo método da substituição simples com u = x , tal que x = u 2 e d u = 1 2 x d x , teremos que:

Quando x = 1 → u = 1

Quando x = a → u = a

Então:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 2 d u u 2 + 1

Resolvendo essa integral pela fórmula 22 da lista de integrais na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. - ANTON:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = 2 lim a → 0 + ⁡ a r c t g u | 1 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = 2 lim a → 0 + ⁡ a r c t g 1 - a r c t g a

Logo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = 2 π 4 - 0

∴ lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x x + 1 = π 2

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 1 d x x x + 1 = π 2

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