Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 5 ∞ x 9 - x 2 3   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Este é um exemplo peculiar. Para que uma integral imprópria com limite de integração infinito seja convergente, o integrando deve tender a 0 no infinito. Vamos verificar se isso ocorre aqui.

O integrando aqui é

x 9 - x 2 3 = x x 2 9 x - 2 - 1 3 = x x 2 / 3 9 x - 2 - 1 3 = x 3 9 x - 2 - 1 3 = x 9 x - 2 - 1 3

Quando x → ∞ , temos que

lim x → ∞ ⁡ x 9 x - 2 - 1 = ∞ - 1 = - ∞

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ x 9 - x 2 3 = lim x → ∞ ⁡ x 9 x - 2 - 1 3 = - ∞

Passo 2

Como o integrando explode quando x → + ∞ , nem precisamos tentar calcular a integral: ela é divergente!

Resposta

Diverge.

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