Calcule as integrais que convirjam.

∫ π / 3 π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ π / 3 π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ π / 3 π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x = lim a → ( π / 3 ) + ⁡ ∫ a π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = 1 - 2 cos ⁡ x ,   t a l   q u e   d u = 2 s e n x d x

Teremos:

Quando x = π / 2 → u = 1

Quando x = a → u = 1 - 2 cos ⁡ a

Logo:

lim a → ( π / 3 ) + ⁡ ∫ a π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x = lim a → ( π / 3 ) + ⁡ ∫ 1 - 2 cos ⁡ a 1 1 u d u 2

E resolvendo a integral:

lim a → ( π / 3 ) + ⁡ ∫ 1 - 2 cos ⁡ a 1 1 u d u 2 = 1 2 lim a → ( π / 3 ) + ⁡ 2 u | 1 1 - 2 cos ⁡ a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → ( π / 3 ) + ⁡ ∫ a π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x = lim a → ( π / 3 ) + ⁡ 1 - 1 - 2 cos ⁡ a

Logo:

lim a → ( π / 3 ) + ⁡ ∫ a π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x = 1 - 0 = 1

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

∫ π / 3 π / 2 s e n x 1 - 2 cos ⁡ x d x = 1

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