Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^(+ oo) e^(- 2 x) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^(+ oo) e^(- 2 x) d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^(+ oo) e^(- 2 x) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_0^a e^(- 2 x) d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = - 2 x , t a l q u e d u = - 2 d x

E:

Quando x = a -> u = - 2 a

Quando x = 0 -> u = 0

Dessa forma, ela será reescrita como:

underset(a -> + oo)(lim) int_0^a e^(- 2 x) d x = underset(a -> + oo)(lim) int_0^(- 2 a) e^u (- (d u)/(2))

Portanto:

underset(a -> + oo)(lim) int_0^(- 2 a) e^u (- (d u)/(2)) = underset(a -> + oo)(l i m) [- (1)/(2) e^u,[[-,2,a],[0]]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_0^(+ oo) e^(- 2 x) d x = underset(a -> + oo)(l i m) [- (1)/(2) (e^(- 2 a) - e^0)]

int_0^(+ oo) e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) (0 - 1) = (1)/(2)

Como nossa integral resultou em um número, ela converge.

Resposta

int_0^(+ oo) e^(- 2 x) d x = (1)/(2)

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