Enunciado

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

11. int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) c o s s e c theta . c o t g theta d theta

Passo 1

Para resolvermos essa questão, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 2

A função que derivada dá c o s s e c theta . c o t g theta é - c o s s e c theta , de acordo com o que vimos lá em derivação, certo? Sendo assim, temos o seguinte:

int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) c o s s e c theta . c o t g theta d theta = [- c o s s e c theta] ((3 pi)/(4))/((pi)/(4))

int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) c o s s e c theta . c o t g theta d theta = [- c o s s e c (3 pi)/(4) - (- c o s s e c (pi)/(4))]

:. int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) c o s s e c theta . c o t g theta d theta = - sqrt(2) + sqrt(2) = 0

Resposta

int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) c o s s e c theta . c o t g theta d theta = 0

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