Calcule as integrais dos Exercícios 1-46

33-

∫ 2 4 x 2 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Passo 1

A grande sacada para essa questão é substituir o termo x 2 x por um termo que leve alguma exponencial junto, tal como:

u = x 2 x = e ln ⁡ x 2 x = e 2 x l n ( x )

Não se esquecendo da regra do “peteleco” que diz: y e x = e x y

Se derivarmos u em relação a x nós teremos:

d u = e 2 x l n x × 2 ln ⁡ x + 2 x × 1 x = e 2 x l n   x × 2 ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Onde:

d u 2 = x 2 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Onde magicamente encontramos a função no domínio x todinha representada para ser substituída.

Passo 2

Aplicando a substituição teremos:

∫ d u 2

Como é bem mais simples esse domínio, vamos encontrar seus intervalos em relação a u e fechar a integral.

Para x = 2

u = 2 2 × 2 = 16

Para x = 4

u = 4 2 × 4 = 65536

Passo 3

Logo nossa integral definida em u fica:

∫ 16 65536 d u 2 =   u 2 16 65536 = 65536 - 16 2 = 32760    

Resposta

32760

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