Calcule a integral

∫ 0 π / 2 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ 0 π / 2 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

∫ 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Façamos primeiramente uma mudança de variável. Se chamarmos u = cos ⁡ t , teremos d u = - sen ⁡ t   d t . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = ∫ - 7 u   d u = - ∫ 7 u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Esta integral que obtemos é equivalente a seguinte integral, à qual já foi resolvida no livro.

∫ a u   d u = a u ln ⁡ a + k

E, para o nosso caso, temos que a = 7 . Portanto, a solução da nossa integral é:

- ∫ 7 u   d u = - 7 u   ln ⁡ 7 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- 7 u   ln ⁡ 7 + k = - 7 cos ⁡ t   ln ⁡ 7 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ 0 π / 2 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - 7 cos ⁡ t   ln ⁡ 7 0 π / 2 = - 1 ln ⁡ 7 ⋅ 7 cos ⁡ t 0 π / 2

∫ 0 π / 2 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - 1 ln ⁡ 7 ⋅ ( 7 cos ⁡ ( π / 2 ) - 7 cos ⁡ 0 )

∫ 0 π / 2 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - 1 ln ⁡ 7 ⋅ 7 0 - 7 1 = 6 ln ⁡ 7

Resposta

∫ 0 π / 2 7 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = 6 ln ⁡ 7

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