Enunciado

Calcule a integral

int_0^(pi // 2) 7^(cos t) sen t d t

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_0^(pi // 2) 7^(cos t) sen t d t

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int 7^(cos t) sen t d t

Façamos primeiramente uma mudança de variável. Se chamarmos u = cos t , teremos d u = - sen t d t . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int 7^(cos t) sen t d t = int - 7^u d u = - int 7^u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Esta integral que obtemos é equivalente a seguinte integral, à qual já foi resolvida no livro.

int a^u d u = (a^u)/(ln a) + k

E, para o nosso caso, temos que a = 7 . Portanto, a solução da nossa integral é:

- int 7^u d u = - (7^u)/(ln 7) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- (7^u)/(ln 7) + k = - (7^(cos t))/(ln 7) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_0^(pi // 2) 7^(cos t) sen t d t = ([- (7^(cos t))/(ln 7)]|_0^(pi // 2) = - (1)/(ln 7) * ([7^(cos t)]|_0^(pi // 2)

int_0^(pi // 2) 7^(cos t) sen t d t = - (1)/(ln 7) * ( 7^(cos ( pi // 2 )) - 7^(cos 0) )

int_0^(pi // 2) 7^(cos t) sen t d t = - (1)/(ln 7) * (7^0 - 7^1) = (6)/(ln 7)

Resposta

int_0^(pi // 2) 7^(cos t) sen t d t = (6)/(ln 7)

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