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Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ x sen ⁡ ( 2 x 2 ) d x ,     u = 2 x 2

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 2 x 2 → d u = 2 x 2 ' d x = 4 x d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ x sen ⁡ 2 x 2 d x

O termo entre parênteses elevado é o próprio u !

∫ x sen ⁡ ( u ) d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 4 x d x → d u 4 = 4 x 4 d x → d u 4 = x d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ x sen ⁡ ( u ) d x = ∫ sen ⁡ u d u 4 = 1 4 ∫ sen ⁡ u d u

Agora temos a integral de um seno que vale

1 4 ∫ sen ⁡ u d u = 1 4 - cos ⁡ u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ x sen ⁡ 2 x 2 d x = 1 4 - cos ⁡ ( 2 x 2 ) + C

Resposta

1 4 - cos ⁡ ( 2 x 2 ) + C

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