Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ x + 1 2 1 - x 5 d x  

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer nesse exercício é uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse termo a quinta chato aí:

u = 1 - x

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - d x = - d x

Substituindo na integral:

∫ x + 1 2 1 - x 5 d x = - ∫ x + 1 2 u 5 d u

Conseguimos substituir o termo 1 - x e d x , mas falta substituir o termo x + 1 , para isso:

u = 1 - x → x = 1 - u

Passo 2

Substituindo na integral:

- ∫ x + 1 2 u 5 d u = - ∫ 1 - u + 1 2 u 5 d u

- ∫ 2 - u 2 u 5 d u

Abrindo o termo quadrático:

- ∫ 4 - 4 u + u 2 u 5 d u

Passo 3

Fazendo o chuveirinho:

- ∫ 4 u 5 - 4 u 6 + u 7 d u

Aí é só resolver a integral:

- ∫ 4 u 5 - 4 u 6 + u 7 d u = - 4 u 5 + 1 5 + 1 - 4 u 6 + 1 6 + 1 + u 7 + 1 7 + 1 = - 4 u 6 6 + 4 u 7 7 - u 8 8

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- 4 u 6 6 + 4 u 7 7 - u 8 8 = - 2 1 - x 6 3 + 4 1 - x 7 7 - 1 - x 8 8 + C

Fim!!!

Resposta

- 2 1 - x 6 3 + 4 1 - x 7 7 - 1 - x 8 8 + C

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