Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ sin ⁡ 2 θ e sin 2 ⁡ θ d θ  

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável:

u = sin 2 ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sin 2 ⁡ θ ' = sin ⁡ θ sin ⁡ θ '

Lembrando da regra do produto da derivada:

d u = cos ⁡ θ s i n θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando das relações trigonométricas:

sin ⁡ θ + θ = + sin ⁡ θ cos ⁡ θ + + sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Assim,

d u = sin 2 ⁡ θ ' = sin ⁡ 2 θ d θ

Substituindo na integral:

∫ sin ⁡ 2 θ e sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ e sin 2 ⁡ θ sin ⁡ 2 θ d θ = ∫ e u d u

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

∫ e u d u = e u

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

e u = e sin 2 ⁡ θ + C

Fim!!!

Resposta

e sin 2 ⁡ x + C

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