Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ sen ⁡ 2 t + 1 cos 2 ⁡ 2 t + 1 d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de t 2 com cos ⁡ ( 2 t + 1 ) , então vamos fazer

u = cos ⁡ ( 2 t + 1 )

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = cos ⁡ ( 2 t + 1 ) → d u = cos ⁡ ( 2 t + 1 ) ' d t = - 2 sen ⁡ ( 2 t + 1 ) d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ sen ⁡ 2 t + 1 cos 2 ⁡ 2 t + 1 d t

Temos então que o termo no denominador é o próprio u elevado ao quadrado

∫ sen ⁡ 2 t + 1 u 2 d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 2 sen ⁡ ( 2 t + 1 ) d t → - 1 2 d u = - 1 2 - 2 sen ⁡ ( 2 t + 1 ) d t → - 1 2 d u = sen ⁡ ( 2 t + 1 ) d t

Agora podemos substituir na integral :D

∫ sen ⁡ 2 t + 1 u 2 d t = ∫ 1 u 2 - 1 2 d u = - 1 2 ∫ d u u 2

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- 1 2 ∫ d u u 2 = - 1 2 ∫ u - 2 d u = - 1 2 - u - 1 + C = 1 2 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ sen ⁡ 2 t + 1 cos 2 ⁡ 2 t + 1 d t = 1 2 cos ⁡ ( 2 t + 1 ) + C

Resposta

1 2 cos ⁡ ( 2 t + 1 ) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados