Suponha f contínua em [0,4] . Calcule ∫ - 2 2 x f x 2 d x .

Passo 1

Oi, pessoal! O enunciado tá pedindo para gente calcular uma integral definida, mas não disse para gente que é f . Confuso né?

Mas vamos com calma e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo na integral definida e ver o que vai dar.

Pelo Teorema temos,

∫ a b f x d x = F b - F a

Então, primeiro vamos achar a nossa primitiva F x .

Bora lá!

Passo 2

Para resolver a nossa integral vamos fazer uma substituição simples!

Nossa integral é,

∫ - 2 2 x f x 2 d x

Fazendo

u = x 2

d u = 2 x d x → d u 2 = x d x

Substituindo ficamos com,

∫ f u 2   d u  

Já que mudamos a variável de x para u , também vamos ter que mudar os limites de integração!

Passo 3

Os limites de integração eram - 2 e 2 e temos que u = x 2 .

Então, os novos limites de integração vão ser:

x = - 2 → u = - 2 2 = 4

x = 2 → u = 2 2 = 4

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 2 2 x f x 2 d x = ∫ 4 4 f u 2 d u = 1 2 ∫ 4 4 f u d u

Repara que os limites de integração são iguais, então a gente não precisa saber os limites de integração, pois pelo Teorema Fundamental do Cálculo

∫ a b f x d x = F b - F a

Aplicando para a nossa integral, teríamos

1 2 ∫ 4 4 f u d u = 1 2 F 4 - F 4 = 0

Achamos então que:

∫ - 2 2 x f x 2 d x = 1 2 ∫ 4 4 f u d u = 0

Resposta

∫ - 2 2 x f x 2 d x = 0

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