Enunciado

Suponha f contínua em [0,4] . Calcule int_(- 2)^2 x f (x^2) d x .

Passo 1

Oi, pessoal! O enunciado tá pedindo para gente calcular uma integral definida, mas não disse para gente que é f . Confuso né?

Mas vamos com calma e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo na integral definida e ver o que vai dar.

Pelo Teorema temos,

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Então, primeiro vamos achar a nossa primitiva F (x) .

Bora lá!

Passo 2

Para resolver a nossa integral vamos fazer uma substituição simples!

Nossa integral é,

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x

Fazendo

u = x^2

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

Substituindo ficamos com,

int (f (u))/(2) d u

Já que mudamos a variável de x para u , também vamos ter que mudar os limites de integração!

Passo 3

Os limites de integração eram - 2 e 2 e temos que u = x^2 .

Então, os novos limites de integração vão ser:

x = - 2 -> u = (- 2)^2 = 4

x = 2 -> u = 2^2 = 4

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição:

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x = int_4^4 (f (u))/(2) d u = (1)/(2) int_4^4 f (u) d u

Repara que os limites de integração são iguais, então a gente não precisa saber os limites de integração, pois pelo Teorema Fundamental do Cálculo

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Aplicando para a nossa integral, teríamos

(1)/(2) int_4^4 f (u) d u = (1)/(2) [F (4) - F (4)] = 0

Achamos então que:

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x = (1)/(2) int_4^4 f (u) d u = 0

Resposta

int_(- 2)^2 x f (x^2) d x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ - 1 1 5 r 4 + r 2 2 d r ∫ 0 1 5 r 4 + r 2 2 d r
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ 0 1 10 v 1 + v 3 / 2 2 d v ∫ 1 4 10 v 1 + v 3 / 2 2 d v
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r ∫ - 1 1 r 1 - r 2 d r
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ 0 1 x 3 x 4 + 9 d x ∫ - 1 0 x 3 x 4 + 9 d x
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ 0 3 4 x x 2 + 1 d x ∫ - 3 3 4 x x 2 + 1 d x