Calcule as integrais nos Exercícios 51-56

56

∫ - π 2 π 2 c o s x ⋅ c o s 7 x   d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral definida.

Passo 2

Para começar vamos relembrar uma propriedade dos cossenos

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + c o s ⁡ ( a - b ) 2

Assim a gente reescreve a integral desse jeito

∫ cos ⁡ x cos ⁡ 7 x d x = ∫ cos ⁡ x + 7 x + c o s ⁡ ( 7 x - x ) 2 d x

Passo 3

Agora a gente pode dividir isso em duas integrais

∫ - π 2 π 2 1 2 ⋅ s e n 8 x 8 + 1 2 s e n 6 x 6 + C = 1 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ 8 x + 1 2 ∫ - π 2 π 2 c o s ⁡ ( 6 x )

Passo 4

As duas integrais podem ser calculadas usando o mesmo método.

Primeiro fazemos uma substituição, chamamos o argumento do cosseno de u , depois basta lembrar que a integral de c o s ⁡ ( x ) é s e n ( x ) .

A integral vai ficar assim

1 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ 8 x + 1 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ 6 x = 1 2 s e n 8 π 2 8 - s e n - 8 π 2 8 + 1 2 s e n 6 π 2 6 - s e n 6 π 2 6

Isso tudo é igual é a 0.

Resposta

A solução é 0.

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