Calcule as integrais nos Exercícios 69 e 70.

∫ sin ⁡ θ θ cos 3 ⁡ θ d θ  

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição de variável para ver se facilita essa equação feia aí:

u = θ

Derivando dos dois lados:

d u = d θ 2 θ

2 d u = d θ θ

Substituindo na integral:

∫ sin ⁡ θ θ cos 3 ⁡ θ d θ = ∫ sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ ∙ d θ θ = ∫ sin ⁡ u cos 3 ⁡ u ∙ 2 d u

Passo 2

Fazendo mais uma mudança de variável:

w = cos ⁡ u

Derivando dos dois lados:

d w = - sin ⁡ u d u

- d w = sin ⁡ u d u

Substituindo na integral:

2 ∫ sin ⁡ u cos 3 ⁡ u d u = 2 ∫ 1 cos 3 ⁡ u sin ⁡ u d u = - 2 ∫ 1 w 3 d w

Passo 3

Vamos resolver a integral agora:

- 2 ∫ 1 w 3 d w = - 2 ∫ w - 3 2 d w = - 2 w - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 = - 2 w - 1 2 - 1 2 = 4 w

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

4 w = 4 cos ⁡ u = 4 cos ⁡ θ + C

Protinho!!!

Resposta

4 cos ⁡ θ + C

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