Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ d x x x 4 - 1

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = x 4 - 1

Derivando dos dois lados:

d u = 1 2 x 4 - 1 ∙ x 4 - 1 ' d x = 4 x 3 2 x 4 - 1 d x

d u 2 x 3 = d x x 4 - 1

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ d x x x 4 - 1 = ∫ 1 x d x x 4 - 1 = ∫ 1 x ∙ d u 2 x 3   = ∫ d u 2 x 4  

Conseguimos substituir o termo d x e x 4 - 1 , mas falta substituir o termo x 4 , para isso:

u = x 4 - 1 → u 2 = x 4 - 1 → x 4 = u 2 + 1

Substituindo na integral:

∫ d u 2 x 4   = ∫ d u 2 u 2 + 1 = 1 2 ∫ d u u 2 + 1

Calculando a integral:

1 2 ∫ d u u 2 + 1 = arctan ⁡ u 2

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

arctan ⁡ u 2 = arctan ⁡ x 4 - 1 2 + C

Protinho!!!

Resposta

arctan ⁡ x 4 - 1 2 + C

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