Enunciado

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Calcule a integral

∫ x 2 - b x s e n   2 x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a integração por partes, temos

f = x 2 - b x g ' = s e n   2 x f ' = 2 x - b g = - 1 2 cos ⁡ 2 x

∫ x 2 - b x s e n   2 x d x = x 2 - b x - 1 2 cos ⁡ 2 x + 1 2 ∫ 2 x - b cos ⁡ 2 x d x

Utilizando novamente a integração por partes, podemos simplificar a integral que restou

f = 2 x - b g ' = cos ⁡ 2 x f ' = 2 g = 1 2 s e n   2 x

Passo 3

Reescrevendo a integral , temos

- 1 2 x 2 - b x cos ⁡ 2 x + 1 2 1 2 2 x - b s e n   2 x - ∫ s e n   2 x   d x

Resolvendo a integral, temos

- 1 2 x 2 - b x cos ⁡ 2 x + 1 2 1 2 2 x - b s e n   2 x - ∫ s e n   2 x   d x = - 1 2 x 2 - b x cos ⁡ 2 x + 1 2 1 2 2 x - b s e n   2 x + 1 2 cos ⁡ 2 x + C

Resposta

∫ x 2 - b x s e n   2 x d x = 1 2 x 2 - b x cos ⁡ 2 x + 1 2 1 2 2 x - b s e n   2 x + 1 2 cos ⁡ 2 x + C

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