Calcule a integral

∫ t 25 - t 2 d t

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

t = 5 sin ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d t = 5 cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ t 25 - t 2 d t = ∫ 5 sin ⁡ θ 25 - 25 sin 2 ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ = 25 ∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 25 1 - sin 2 ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ θ = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

25 ∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 25 1 - sin 2 ⁡ θ d θ = 25 ∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 25 ⋅ cos 2 ⁡ θ d θ = 25 ∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ = 5 ∫ sin ⁡ θ d θ = - 5 cos ⁡ θ + c

Passo 2

Agora que já resolvemos a integral, precisamos encontrar uma expressão para cos ⁡ θ em função de t , lembra que dissemos

t = 5 sin ⁡ θ

Da resolução da integral, vimos que

25 - t 2 = 5 cos ⁡ θ

Então,

cos ⁡ θ = 25 - t 2 5

Agora, podemos substituir

- 5 cos ⁡ θ + c = - 5 ⋅ 25 - t 2 5 + c = - 25 - t 2 + c

Resposta

∫ t 25 - t 2 d t = - 25 - t 2 + c

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