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Calcule a integral.

∫ 1 x 2 4 x + 1 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 4 x + 1 → u 2 = 4 x + 1 → x = u 2 - 1 4

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = 4 d x → d x = u d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x 2 4 x + 1 d x = ∫ u 2 u u 2 - 1 4 2 d u = ∫ 1 u 2 - 1 2 8 d u = 8 ∫ 1 u 2 - 1 2 d u = 8 ∫ 1 u + 1 2 u - 1 2 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:

8 u + 1 2 u - 1 2 = A u + 1 + B u + 1 2 + C u - 1 + D u - 1 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores u + 1 2 u - 1 2 :

1 = A u + 1 u - 1 2 + B u - 1 2 + C u - 1 u + 1 2 + D u + 1 2

Fazendo u = 1 e substituindo temos que D = 1 4 , com u = - 1 temos B = 1 4 .

Destrinchando os termos do polinômio ficamos com os coeficientes de u 3 e os coeficientes isolados:

A + C = 0 A + B - C + D = 1

Isolando A na primeira, ficamos com:

A = - C

Substituindo na segunda:

A + B - C + D = 1 → - C + 1 4 - C + 1 4 = 1 → C = - 1 4

A = 1 4

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

8 ∫ 1 u + 1 2 u - 1 2 d u = 8 ∫ 1 4 u + 1 + 1 4 u + 1 2 + - 1 4 u - 1 + 1 4 u - 1 2 d u = ∫ 2 u + 1 d u + ∫ 2 u + 1 2 d u + ∫ - 2 u - 1 d u + ∫ 2 u - 1 2 d u

Passo 3

Vamos resolver separadamente, para a primeira vamos fazer uma Substituição:

v = u + 1

Derivando:

d v =   d u

Substituindo temos:

∫ 2 u + 1 d u = ∫ 2 v d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 v d v = 2 ∫ 1 v d v = 2 ln ⁡ v + C

Passo 4

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

v = u + 1

Derivando:

d v =   d u

Substituindo temos:

∫ 2 u + 1 2 d u = ∫ 2 v 2 d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 v 2 d v = 2 ∫ 1 v 2 d v = - 2 v - 1 + C

Passo 5

Para a terceira vamos fazer uma Substituição:

v = u - 1

Derivando:

d v =   d u

Substituindo temos:

∫ - 2 u - 1 d u = ∫ - 2 v d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 2 v d v = - 2 ∫ 1 v d v = - 2 ln ⁡ v + C

Passo 6

Para a quarta vamos fazer uma Substituição:

v = u - 1

Derivando:

d v =   d u

Substituindo temos:

∫ 2 u - 1 2 d u = ∫ 2 v 2 d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 v 2 d v = 2 ∫ 1 v 2 d v = - 2 v - 1 + C

Passo 7

Juntando tudo agora:

∫ 2 u + 1 d u + ∫ 2 u + 1 2 d u + ∫ - 2 u - 1 d u + ∫ 2 u - 1 2 d u = 2 ln ⁡ v - 2 v - 1 - 2 ln ⁡ v - 2 v - 1 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 x 2 4 x + 1 d x = ∫ 2 u + 1 d u + ∫ 2 u + 1 2 d u + ∫ - 2 u - 1 d u + ∫ 2 u - 1 2 d u = 2 ln ⁡ v - 2 v - 1 - 2 ln ⁡ v - 2 v - 1 + C = 2 ln ⁡ u + 1 - 2 u + 1 - 1 - 2 ln ⁡ u - 1 - 2 u + 1 - 1 + C = 2 ln ⁡ 4 x + 1 + 1 - 2 4 x + 1 + 1 - 1 - 2 ln ⁡ 4 x + 1 - 1 - 2 4 x + 1 + 1 - 1 + C

Resposta

∫ 1 x 2 4 x + 1 d x = 2 ln ⁡ 4 x + 1 + 1 - 2 4 x + 1 + 1 - 1 - 2 ln ⁡ 4 x + 1 - 1 - 2 4 x + 1 + 1 - 1 + C

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