Calcule a integral.

∫ x 3 x 3 + 1 d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral e provavelmente teremos que usar integração por partes. Mas antes disso, note que o grau do numerador e igual ao do denominador, então precisamos dividir os polinômios:

x 3 = x 3 + 1 ⋅ 1 - 1 = x 3 + 1 - 1

Assim,

x 3 x 3 + 1 = 1 - 1 x 3 + 1

Precisamos escrever a segunda parte usando a decomposição em frações parciais. Relembrando a fatoração de cubos:

x 3 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

Note que o fator quadrático é irredutível, de modo que

1 x 3 + 1 = A x + 1 + B x + C x 2 - x + 1 = A x 2 - A x + A + B x 2 + C x + B x + C x 3 + 1

Portanto,

A + B = 0 - A + B + C = 0 A + C = 1

Assim, A = - B ⇒ - A - A + C = 0 ⇒ C = 2 A . Desta forma, A + C = 1 ⇒ 3 A = 1 ⇒ A = 1 / 3 e, consequentemente, B = - 1 / 3 e C = 2 / 3 . Portanto,

x 3 x 3 + 1 = 1 - 1 3 ⋅ 1 x + 1 + 1 3 ⋅ x - 2 x 2 - x + 1

Passo 2

Assim,

∫ x 3 x 3 + 1 d x = ∫ 1 - 1 3 ⋅ 1 x + 1 + 1 3 ⋅ x - 2 x 2 - x + 1 d x

Logo,

∫ x 3 x 3 + 1 d x = x - 1 3 ln ⁡ x + 1 + 1 3 ∫ x - 2 x 2 - x + 1   d x

Essa última integral é só o que nos falta resolver. Completando quadrados, temos que

x 2 - x + 1 = x 2 - x + 1 4 + 1 - 1 4 = x - 1 2 2 + 3 4

Assim,

1 3 ∫ x - 2 x 2 - x + 1   d x = 1 3 ∫ x - 2 x - 1 2 2 + 3 4 d x

Vamos fazer agora u = x - 1 / 2 :

1 3 ∫ x - 2 x - 1 2 2 + 3 4 d x = 1 3 ∫ u + 1 2 - 2 u 2 + 3 4 d u = 1 3 ∫ u - 3 2 u 2 + 3 4 d u = 1 3 ∫ u u 2 + 3 4 d u - 1 2 ∫ 1 u 2 + 3 4 d u

A primeira integral é simples:

1 3 ∫ u u 2 + 3 4 d u = 1 6 ln ⁡ u 2 + 3 4 = 1 6 ln ⁡ ( x 2 - x + 1 )

Já a segunda integral vai dar

1 2 ∫ 1 u 2 + 3 4 d u = 1 2 ⋅ 2 3 a r c t g   2 u 3 = 1 3 a r c t g   2 3 x - 1 2

Assim,

1 3 ∫ x - 2 x 2 - x + 1   d x = 1 6 ln ⁡ ( x 2 - x + 1 ) - 1 3 a r c t g   2 3 x - 1 2

Passo 3

Por fim,

∫ x 3 x 3 + 1 d x = x - 1 3 ln ⁡ x + 1 + 1 6 ln ⁡ x 2 - x + 1 - 1 3 a r c t g   2 3 x - 1 2 + C

Resposta

x - 1 3 ln ⁡ x + 1 + 1 6 ln ⁡ x 2 - x + 1 - 1 3 a r c t g   2 3 x - 1 2 + C

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