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Calcule a integral

∫ cos ⁡ 7 θ cos ⁡ 5 θ d θ

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica

cos ⁡ A cos ⁡ B = 1 2 cos ⁡ A - B + cos ⁡ A + B

Então, substituindo na integral, ficamos com

∫ cos ⁡ 7 θ cos ⁡ 5 θ d θ = ∫ 1 2 cos ⁡ 7 θ - 5 θ + cos ⁡ 7 θ + 5 θ d θ = 1 2   ∫ cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 12 θ d θ

Podemos separar esta integral em duas da seguinte forma

1 2   ∫ cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 12 θ d θ = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ + ∫ cos ⁡ 12 θ d θ

Passo 2

Vamos calcular cada integral separadamente.

Calculando a primeira

∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Seja u = 2 θ , temos que d u / 2 = d θ . Substituindo

∫ cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u + c 1 = 1 2 sin ⁡ 2 θ + c 1

Calculando a segunda

∫ cos ⁡ 12 θ d θ

De forma análoga a primeira

∫ cos ⁡ 12 θ d θ = 1 12 sin ⁡ 12 θ + c 2

Passo 3

Agora, podemos substituir o que encontramos

1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ + ∫ cos ⁡ 12 θ d θ = 1 2 1 2 sin ⁡ 2 θ + c 1 + 1 12 sin ⁡ 12 θ + c 2 = 1 4 sin ⁡ 2 θ + 1 24 sin ⁡ 12 θ + k

Note que uma constante somada com outra constante resulta em uma outra constante, a qual chamei de k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ cos ⁡ 7 θ cos ⁡ 5 θ d θ = 1 4 sin ⁡ 2 θ + 1 24 sin ⁡ 12 θ + k

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x
Calcule a integral indefinida. ∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x
Calcule a integral. ∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ
Calcule a integral. ∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ
Calcule a integral ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral ∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x