Enunciado

Ache a derivada da função

y = int_(cos (x))^(5 x) c o s ( u^2 ) d u

Passo 1

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

y = int_a^x f (u) d u

Então

y ' = f ( x )

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?! Então vamos substituir esta integral por duas integrais da seguinte forma

y = int_(cos (x))^(5 x) c o s ( u^2 ) d u = int_(cos (x))^0 cos (u^2) d u + int_0^(5 x) cos (u^2) d u

Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de 0 até o limite superior

y = - int_0^(c o s ( x )) cos (u^2) d u + int_0^(5 x) cos (u^2) d u

Passo 2

Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo, vamos dizer o seguinte, seja

w = cos (x) e z = 5 x

Temos que

(d w)/(d x) = - sin (x) e (d z)/(d x) = 5

Então, se substituirmos na função y , ficamos com

y = - int_0^w cos (u^2) d u + int_0^z cos (u^2) d u

Passo 3

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são x , mas sim w e z , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos y ' .

y^' = - cos (w^2) (d w)/(d x) + cos (z^2) (d z)/(d x)

y^' = - cos (cos^2 (x)) (- sin (x)) + cos (25 x^2) * 5

y^' = sin (x) cos (cos^2 (x)) + 5 c o s ( 25 x^2 )

Resposta

y^' = sin (x) cos (cos^2 (x)) + 5 c o s ( 25 x^2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida d d x ∫ 0 x4 + t 6 d t
Calcule a integral definida d d x ∫ 1 x ³t 2 + 1 3d t ³
Calcule a integral definida d d x ∫ - x xcos ⁡ ( t 2 + 1 )d t
Calcule a integral indefinida: ∫ 3 x d x 1 - x 4
Calcule a integral indefinida ∫ x ⋅ coth ⁡ x 2 2 d x